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正项级数及其敛散性
如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。
正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列 ，就得到了一个单调上升数列 。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：
正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界 。
有界性可以通过许多途径来进行判断 ，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。
比较审敛法：
⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后 ，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项 ，那么这个正项级数也肯定收敛 。
⑵反之，一个正项级数 ，如果从某个有限的项以后 ，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散 。
如果说逐项的比较还有些麻烦的话 ，可以采用如下的极限形式：对于正项级数
和
，如果
，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。
实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大 ，也就是说 ，还可以用于判断更多的级数是收敛的 。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的 。
如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数 ，如果这个正项级数是收敛的 ，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。
给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于：
一个级数如果是绝对收敛的 ，那么也就一定是收敛的 。
绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性 ，还具有如下的性质：
如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0 ，那么就得到一个正项级数
；如果把它的所有负项都改变符号 ，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数
，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件 ，为正项级数与都收敛 。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。
作为加法交换律的一个推广 ，对于正项级数 ，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性 ，同样 ，对于绝对收敛级数也有这样的性质 。
不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：
如果两个任意项级数都绝对收敛 ，那么它们的各项的乘积 ，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积 。
考虑一种特别的级数形式 ，即相邻两项的符号相反 ，称为交错级数。交错级数具有一个简单的性质：
如果为一个单调递减数列，并且以0为极限 ，那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。
这种级数称为莱布尼兹级数 。
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